Ejemplos de la Ley de Tricotomia

En Geometria Euclidiana

- Definicion 1.7. Se dice que el segmento AB es menor que o igual a o mayor que el segmento CD, y se escribe AB < CD, AB = CD o AB > CD, si el numero AB es menor que o igual a o mayor que el numero CD.

- Definicion 2.7. Un angulo dicese Angulo Obtuso o Recto si su medida es menor que o mayor que o igual a 90 grados.

- Definicion 7.2. Se dice que una Recta es exterior a una Circunferencia si no tiene Puntos en comun. Una Recta se dice Tangente a una Circunferencia si tiene un unico Punto en comun. Una Recta se dice Secante a una Circunferencia si tiene dos Puntos en comun.

En Algebra

- En las Raices de la Ecuacion Cuadratica, el Binomio Subradical "CUADRADO(b) - 4ac" se llama Discriminante. Si a, b y c son todos numeros Reales, estas Raices seran Reales e iguales si el Discriminante es igual a Cero; Reales y desiguales si el Discriminante es mayor que Cero; Complejas Conjugadas si el Discriminante es menor que Cero.

En Secciones Conicas

- Una Seccion Conica se define como una curva generada por un Punto que se mueve de modo que la relacion entre su distancia a un Punto (denominado Foco) y a una Linea (llamada Directriz) es constante. Hay tres clases de Secciones Conicas, llamadas Elipse, Parabola e Hiperbola, dependiendo de la Constante (Excentricidad): menor que, igual a o mayor que Uno.

$x^2+4x+4=0$

Reseña sobre el Dr. Luis Guillermo Portillo

Esta nota de prensa apareció en el año 1990.

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Médico, Profesor y Bienhechor

Por: Dr. Heberto Jiménez Navas

Ese fue en vida el Dr. Luis Guillermo Portillo, fallecido exactamente el 18 de noviembre de 1990, día de la Chinita.

Luis Guillermo Portillo, excelente Médico Internista, se dedicó al ejercicio de la Medicina, profesión y apostolado que practicó siempre.

Fue llamado a la Facultad de Odontología de L.U.Z., cuando ejercimos funciones de gobierno para fundar la Cátedra de “Medicina Interna”, lo cual cumplió a cabalidad, a pesar de las dificultades que para la época (1966) significaba, lo novedoso en los planes de estudios odontológicos, la incorporación de tan fundamental conocimiento científico en la formación de los profesionales de la Odontología.

Su competencia científica y su altísima vocación de servicio significaron cualidades insuperables para el logro del objetivo propuesto dentro de la conceptualización integral de la salud, y su especificidad en los aspectos estomatológicos. A partir de ella hizo escuela en la Enseñanza de la Medicina Interna en Odontología, dejando valiosos seguidores.

Hombre con plena conciencia de su deber ciudadano, siempre estuvo atento en la defensa de lo genuinamente universitario y de lo patriótico. Médico, humanista por excelencia, practicó la Medicina sin ánimo de lucro y con alta solidaridad para con sus pacientes, a quienes trató con bondad exquisita. 

Como Profesor, no admitía sino lo que fuera la mejor enseñanza y formación integral de sus alumnos. Serio, responsable, disciplinado, equilibrado, exigente, pero comprensivo, caballeroso como el que más, fino y generoso. 

Como amigo, practicó la lealtad en grado superior como un principio doctrinario sobre el cual no admitía debilidades o desviaciones. Hombre de buen humor, que disfrutaba de la buena relación amistosa, y de la cual derivaba su más grande felicidad. 

Figura 1. Nota de prensa original

DEFINICIONES BÁSICAS PARA EL ESTUDIO DE LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA

La Ciencia del ingeniero debe ser práctica, pero no empírica. 

El empirismo termina en rutina, y la rutina en ceguera. 

El ingenio se cultiva también con la luz de la razón 

cuando la intuición no ilumina lo bastante, 

y la Matemática que necesita el técnico 

debe proporcionarle no sólo los conocimientos pragmáticos, 

los útiles de su trabajo, 

sino también el hábito de manejarlos con buen criterio.

Puig Adam, Pedro - Curso de Geometría Métrica,Vol. 1 Fundamentos - 1947

Unfortunately, mathematicians do not always adhere to their own canons of accuracy 

with respect to terminology.

Birkhoff and Beatley - Basic Geometry, Manual for teachers - 1943

Este Glosario intenta ser “auto-contenido”, tal y como es la  Geometría euclidiana misma: en el Espacio Euclidiano existe todo el Universo de objetos (Elementos Geométricos). Es un pequeño viaje desde las definiciones grandes hacia los elementos primitivos. Siempre pensé que el título matemático tiene como sinónimo el título analista. El oficio de analista es usar la facultad racional para desmontar/construir discursos, información en todas sus formas, infraestructuras lógicas deductivas con el objetivo de estudiarlas para conocer su Valor Veritativo.

La precisión y belleza de toda la infraestructura matemática proviene de su semi-rigidez. Los años de trabajo abstracto enseñan que el analista/matemático no debe adoptar una postura rígida (ortodoxa) frente a los problemas. Newman y Kasner, en su libro Matemáticas e imaginación, remarcaron –“a menudo el rigor matemático solo sirve para provocar otra clase de rigor…el rigor mortis de la creación matemática”. La herramienta fundamental del analista (precisamente para no ser un sujeto con pensamiento rígido) es la flexibilidad en su pensamiento: un ir y venir entre el universo de lo abstracto y la materialidad.

Se trata, este breve trabajo, de un homenaje a la lucha contra el olvido. Como parte de mi investigación, estuve escarbando la biblioteca nacional en Caracas, en busca de trabajos y traducciones de los Elementos de Euclides. Tuve la suerte de encontrar una obrita producida por la UNAM en 1944. En su preámbulo, el Prof. García Bacca hizo un análisis filosófico de la obra de Euclides. Inmediatamente me dí cuenta que estaba en presencia de un libro histórico. El libro lo encontré en condiciones deplorables: humedad y roturas llenaban sus tapas y hojas. Muchos textos parecidos se encuentran en condición similar en esa biblioteca (y en otras bibliotecas del país, incluida la librería del Palacio de las Academias en Caracas). Hago desde aquí un llamado a digitalizar muchos libros valiosos como estos para contrarrestar el olvido.

1.- La palabra Lógica proviene del vocablo griego logos que significa Discurso o Raciocinio. Es una rama de la filosofía que estudia el razonamiento.

2.- La Lógica Matemática es el estudio sistemático de los razonamientos correctos para diferenciarlos de los incorrectos.

3.- Discurso es la facultad racional con que se infieren unas cosas a partir de otras. Ejemplo: "c^2 = a^2 + b^2" es un Discurso racional.

4.- Oración Gramatical es la unidad del lenguaje que expresa un sentido completo.

5.- Una Proposición es una Oración Gramatical que es verdadera o es falsa pero no ambas cosas a la vez.

6.- Una Forma Proposicional es una Oración Gramatical que incluye Variables. Ejemplo: "x es un número primo". No es una Proposición, dado que no es posible determinar si es verdadera o falsa.

7.- Una Definición es un convenio sobre el significado de un Término en particular según el cual el Definiendum puede sustituir al Definiens. Consta de dos Expresiones llamadas Definiendum y Definiens.

8.- Conjunto es un término primitivo que no se define. Es sinónimo de Agregado o Colección de Objetos, y estos Objetos se llaman sus Elementos.

9.- Una Variable es un Símbolo que denota un Elemento cualquiera de un Conjunto no vacío. Este Conjunto se llama Rango o Universo del Discurso de la Variable, y sus Elementos se llaman Valores de la Variable.

10.- Una Constante es una Variable cuyo Rango tiene un solo Elemento.

11.- Una Circunferencia es el Lugar Geométrico de los Puntos que equidistan de un Punto dado, y puede trazarse con compas. También, una Circunferencia de centro un Punto O y de Radio un número K > 0 es el Conjunto de los Puntos que están a la distancia K de O.

También se llama Radio al Segmento que une el centro O con cualquier Punto P de la Circunferencia. Esta palabra Radio se usa en dos sentidos.

Cuando se diga "el Radio" significa: el número K > 0. Cuando se diga "un Radio" significará: un Segmento. Lo propio ocurre con el vocablo Diámetro.

Un Punto P dícese interior a O(k) si OP < K.

En este glosario se sigue la simbología del Prof. Darío Durán Cepeda [2]

12.- Un Ángulo es la unión de dos semirectas con un extremo común. A este extremo común se le denomina Vértice del Ángulo y las semirectas se les llama Lados del Ángulo. La notación comúnmente usada para expresar la medida de un Ángulo es m

13.- Un Ángulo dícese Agudo, Obtuso o Recto si su medida es menor, mayor o igual a 90°.

14.- Se llama Cuerda al Segmento que une dos Puntos de una Circunferencia.

15.- Un Diámetro es una Cuerda que pasa por el Centro de la Circunferencia. También, se llama Diámetro al número 2K.

16.- Dos Puntos se dicen Diametralmente Opuestos si son extremos de un Diámetro.

Teorema: Un Diámetro en una Circunferencia es la Cuerda de mayor longitud.

17.- Circulo es el Conjunto de los Puntos interiores a una Circunferencia.

18.- Un Lugar Geométrico es una Figura Geométrica cuyos Elementos Geométricos (Puntos, Rectas), y solamente ellos, gozan de una misma Propiedad, como la Circunferencia.

La Mediatriz de un Segmento es otro Lugar Geométrico, ya que sus Puntos, y nada más que ellos, distan individualmente lo mismo de los extremos del Segmento, por Rectas Oblicuas que se separan igualmente del Pie de la Recta Perpendicular, y cualquier Punto que no pertenezca a la Mediatriz no goza de esa Propiedad.

Análogamente, la Bisectriz de un Ángulo es el Lugar Geométrico de los Puntos, que individualmente distan lo mismo de los Lados del Ángulo, lo cual se ve por giro de la Figura o la mitad de ella, alrededor de la Bisectriz.

19.- Desigualdad triangular: un Lado de un Triángulo es menor que la suma de los otros dos Lados.

20.- Dados tres Puntos no-Colineales A, B, C, se llama Triángulo a la Figura obtenida por la unión de los tres Segmentos AB, AC y BC.

21.- Esta es una hermosa definición de Postulado escrita por el Dr. Juan David García Bacca en su introducción filosófica a los Elementos de Euclides:

"Y en nuestros días llamamos Postulados a todos los axiomas geométricos, es decir: cosas no evidente al entendimiento especulativo que tienen que ser construidas según normas para que el entendimiento las pueda intuir y luego formular como Proposiciones.

A la acción constructora le sigue la contemplación." [1]

22.- Si un Punto P está en el Plano de O(k), entonces los números OP y k satisfacen la "Ley de Tricotomía": "Se cumple una y solamente una de las siguientes posibilidades: OP < k, OP = k, OP > k".

Esto indica que O(k) divide al Plano en tres regiones excluyentes: el Círculo de centro O y Radio k, la Circunferencia de Centro O y Radio k y el exterior de la Circunferencia.

23.- Se dice que M es el Punto Medio del segmento AB si AM = MB y M está entre A y B. En este caso también se dice que A y B son Puntos Simétricos respecto de M o que A es el Simétrico de B respecto de M o que M Biseca al segmento AB.

24.- El Segmento que une un Vértice de un Triángulo y el Punto medio del Lado opuesto se llama Mediana de ese Lado. También se llamará Mediana a la Longitud de ese Segmento.

25.- El Segmento que une un Vértice de un Triángulo y su Proyección Ortogonal sobre la Recta que contiene al Lado opuesto se llama Altura de ese Lado.

También se llama Altura a la Longitud de ese Segmento.

26.- El Punto de corte de las Medianas de un Triángulo se llama Baricentro del Triángulo. También se llama Centroide o Centro de Gravedad del Triángulo.

27.- La intersección de las alturas de un Triángulo se llama el Ortocentro del Triángulo. El Triángulo cuyos vértices son los pies de las alturas de otro Triángulo se llama Triángulo Órtico de éste.

28.- Un Punto de Menelao (Menelaus según [6]) de un Lado de un Triángulo es un Punto que no es Vértice del Triángulo y está en la Recta que contiene a ese Lado del Triángulo.

29.- Se llama Ceviana de un Vértice de un Triángulo al segmento determinado por el Vértice y un Punto de Menelao del Lado opuesto. Este último Punto se llama Pie de la Ceviana. La Ceviana es interior o exterior según que su Pie sea un Punto interior o exterior del Lado.

Menelaus de Alejandría fue un astrónomo griego que vivió en el primer siglo de nuestra era. Escribió la obra llamada Esférica donde estudió los triángulos esféricos y los puntos colineales. El matemático Giovanni Ceva (ca. 1647 – 1736) publicó un trabajo sobre las rectas concurrentes.

30.- Una Función de un Conjunto no vacío X en un Conjunto no vacío Y es una regla que asigna a cada Elemento de X un único Elemento de Y. Este único Elemento se llama su Imagen. El conjunto X se llama el Dominio de la función, y el Conjunto Y se llama su Codominio. Una Función de X en Y se dice Biyectiva si elementos distintos de X tienen imágenes distintas, y cada Elemento de Y es imagen de algún Elemento de X.

31.- Se llama Correspondencia Biunívoca entre dos triángulos a una Función Biyectiva entre sus vértices. Escribiremos ABC ↔ DEF para denotar la correspondencia biunívoca entre los triángulos ABC y DEF siempre y cuando los vértices D, E y F sean las respectivas imágenes de los vértices A, B y C. Toda correspondencia biunívoca induce una correspondencia biunívoca entre sus ángulos y sus lados.

32.- Una Semejanza entre dos triángulos es una correspondencia biunívoca entre sus vértices tal que los ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.

33.- Dos triángulos ABC y DEF son semejantes o el triángulo ABC es semejante al triángulo DEF, y se escribe ABC ∼ DEF, si la Correspondencia Biunívoca ABC ↔ DEF es una Semejanza. El Factor de Proporcionalidad entre los lados correspondientes se llama Razón de Semejanza.

34.- Una Congruencia entre dos triángulos es una Correspondencia Biunívoca entre sus vértices de modo que sus ángulos correspondientes y sus lados correspondientes sean iguales. Diremos que dos triángulos ABC y DEF son congruentes o que el triángulo ABC es congruente con el triángulo DEF, y se escribe ABC ≅ DEF, si existe una Correspondencia ABC ↔DEF entre los vértices.

35.- Una Congruencia entre dos Figuras es una Correspondencia Biunívoca que preserva distancias. Por esta razón las congruencias se llaman en ocasiones Isometrías (isos = igual; metrón = medida). Esta definición es una generalización de la definición de Congruencia de triángulos.

36.- Una Proporción es la igualdad de dos razones, y es verdadera sii el producto de los extremos es igual al producto de los medios, es decir, x/a= b/y si y sólo si a.y = b.x.

En el Libro V de los Elementos de Euclides se pueden leer las siguientes dos definiciones:

a) Una Razón es determinada relación con respecto a su tamaño entre dos magnitudes homogéneas.

b) Llámense proporcionales las magnitudes que guardan la misma razón.

Se puede intuir de allí que la Razón de dos cantidades es el cociente entre ellas y que una Proporción es la igualdad de dos razones

37.- Se dice que los segmentos a, b, c, d forman una Proporción si a/b = c/d. Los segmentos a y d se llaman los Extremos de la Proporción, y los segmentos b y c se llaman sus Medios. Cada uno de esos segmentos se llama la Cuarta Proporcional de los segmentos restantes.

Se dice que el segmento b es Media Geométrica o Media Proporcional de los segmentos a y c si b^2 = a.c. En este caso cualquiera de los dos factores del segundo miembro se llama una Tercera Proporcional.

38.- Un Punto es el Límite mínimo de la Extensión, que se considera sin Dimensión alguna. Evidentemente, para hacerlo parte de toda la estructura, se tendrán que analizar las palabras Límite, Extensión y Dimensión y eso nos llevaría lejos de la Geometría. Por estas razones la Geometría acepta el Punto como Término Primitivo. Lo propio ocurre con las palabras Recta y Plano. 

El enfoque sistémico (modularización y orientación a objeto), reciente dentro del conocimiento humano, puede ayudarnos a entender. Es una acción de observar en perspectiva. De lejos solo existe el Punto. Luego al aproximarnos más al objeto pudieran aparecer detalles: en este instante deja de ser un Punto y sus partes, ahora visibles, aparecen como Puntos en nuestro espacio. La experiencia sigue a medida que avanzamos. Por eso se trata de un "límite de la extensión".

39.- Los Términos Primitivos de la Geometría son [2]:

(a) Los Puntos

(b) Ciertos Conjuntos de Puntos que llamamos Rectas

(c) La Distancia entre dos Puntos

(d) La Medida de un Ángulo

(e) El Área de ciertos Conjuntos de Puntos

40.- El Espacio es el Conjunto de todos los Puntos.

El Espacio Abstracto de la Geometría Euclidiana goza de las siguientes Propiedades:

- Continuo (sin interrupciones)

- Homogéneo (sin diferencias en sus partes)

- Isótropo (sin deformaciones: todas las Rectas son iguales)

- Divisible indefinidamente (sin átomos de extensión) à contrastar con def. de Punto

- Accesible en todos los Puntos

- Compenetrable (dos figuras pueden ocupar el mismo lugar)

- Tridimensional (definen una posición tres “direcciones” perpendiculares)

- Independiente del tiempo (existe sin que el tiempo influya en su modo de ser)

Vemos como el Espacio, al igual que cualquier otro objeto matemático, posee propiedades notables intrínsecas. En otras palabras:

¡la inmensidad del Espacio como objeto de estudio en sí mismo! 

41.- La Geometría es la parte de la Matemática que estudia las Propiedades Notables intrínsecas de las Figuras Geométricas. Estas Propiedades de las Figuras admiten un doble orden de clasificación: Propiedades Métricas, Proyectivas, Topológicas y el de las llamadas Propiedades de Posición, Extensión y Forma.

Las Propiedades de las Figuras Geométricas resultan de las Propiedades del Espacio.

42.- Propiedad es el Atributo o Cualidad esencial de alguien o algo.

43.- Cualidad es cada uno de los Caracteres, naturales o adquiridos, que distinguen a las personas, a los seres vivos en general o a las cosas.

44.- Un Sistema Axiomático es la plataforma que sostiene a toda infraestructura lógica deductiva y consiste en lo siguiente:

(a) Un Conjunto de Términos Primitivos que constituyen la base del Vocabulario necesario

(b) Un Conjunto de Proposiciones iniciales no demostradas

(c) Leyes de la Lógica

(d) Un Conjunto de Teoremas que enuncian las Propiedades de los Términos Primitivos

Un Sistema Axiomático, como todo objeto matemático, posee propiedades notables intrínsecas. Se trata de las propiedades de un axioma y del conjunto de axiomas: (d.1) cada axioma debe ser compatible; (d.2) el conjunto de axiomas debe ser completo; (d.3) el conjunto de axiomas debe ser coherente.

Puede darse la situación que un conjunto de axiomas, por sí solo, no es suficiente para sostener un a determinada infraestructura lógica deductiva. En caso tal, el analista/matemático debe buscar (o inventar) otros axiomas y añadirlos a su sistema axiomático.

Es bueno tener siempre en cuenta que existen muchos objetos matemáticos, algunos son simples mientras que otros (construidos en base a los objetos simples) son compuestos. Entre los objetos matemáticos que han sido más elaborados tenemos los vectores, las matrices, algunos objetos físico-matemáticos como los tensores y los espacio vectoriales.

45.- Una Figura Geométrica es un Conjunto de puntos.

46.- Un Argumento Lógico es un Conjunto finito de Proposiciones donde la última de ellas se llama Conclusión, y las restantes se llaman Premisas.

Si p1, p2, …pn son Premisas de un Argumento y q es la Conclusión, entonces escribiremos [p1, p2, …, pn] lŀ q

Definición (del punto 46).

Diremos que el argumento [p1, p2, …, pn] lŀ q es Válido si la Condicional (p1 ^ p2 ^ …^ pn) => q

Es una Tautología. Se dice que el Argumento es una Falacia si no es Válido.

Resumiendo algunas notaciones empleadas en la Geometría Euclidiana:

A, B, C, ... son los vértices o ángulos correspondientes de un Polígono. a, b, c, ... son los lados del polígono. Si ABC es un triángulo a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C. s es el Semiperímetro del triángulo ABC y p = 2s es el Perímetro. La recta AB es la recta que pasa por los puntos A y B. La circunferencia ABC es la circunferencia que pasa por los puntos A, B, C. O(A) es la circunferencia de centro O que pasa por A. O(k) u O(AB) es la circunferencia de centro O y de radio k o AB. ha, hb, hc son las alturas y ma, mb, mc son las medianas de los lados a, b, c del triángulo ABC. Las alturas de un triángulo se cortan en su Ortocentro H. Las medianas de un triángulo se cortan en su Baricentro G que triseca a cada mediana. wa, wb, wc son las bisectrices interiores y wa`, wb`, wc` son las bisectrices exteriores de los ángulos A, B, C de un triángulo ABC. Las bisectrices de los ángulos de un triángulo se cortan en su Incentro I, que es el centro del Incírculo, es decir, de la circunferencia tangente a sus lados. Su radio r se llama el inradio y 2r se llama el Indiámetro. Las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en su Circuncentro O, que es el centro del Circuncírculo, i.e., la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo. Su radio r se llama el Circunradio y 2R se llama el Circundiámetro. Un Excírculo de un lado de un triángulo es la circunferencia que es tangente a ese lado y a las prolongaciones de los otros dos lados. Sus centros se llaman excentros y se denotan por Ia, Ib, Ic. Sus radios se llaman exradios y se denotan mediante ra, rb, rc. ∠AOB es el ángulo de vértice O y de lados las semirrectas OA y OB.

Referencias:

[1] Euclides, Hilbert, David, García Bacca, Juan David - Elementos de Geometría - UNAM, 1944

[2] Duran Cepeda, Darío - Geometría Euclidiana - 2005

[3] Jiménez, Douglas - Geometría: El encanto de la forma - 2005

[4] Biosca, Francisco M. - Geometría - Enciclopedia LABOR, 1962

[5] Postigo, Luis - Matemática

[6] Cajori, Florian – A History of Mathematics
[7] López, Nayit E. - Fundamentos de Geometría Métrica Plana
[8] Diccionario de la Real Academia de la Lengua Española

BREVE RECUERDO DEL LENGUAJE DE PROGRAMACIÓN MIXAL

And now I see with eye serene
The very pulse of the machine.
 - William Wordsworth, She Was a Phantom of Delight (1804)
(tomada de Fundamental Algorithms - Knuth, Donald E. - 1973)

Ejemplo de traducci\'on (compilaci\'on) manual desde un mini programa originalmente escrito en lenguaje C++ hacia el Assembler \texttt{MIXAL}, y desde ese lenguaje intermedio hacia instrucciones de la m\'aquina \texttt{MIX}. La traducci\'on hacia \texttt{MIXAL} se hizo manualmente: de izquierda a derecha aparece la instrucci\'on de m\'aquina \texttt{MIX}, seguida de la direcci\'on en la memoria hipot\'etica y finalizando con la sentencia Assembler \texttt{MIXAL}.\\\\

Se sigui\'o la convenci\'on tomada por algunos compiladores de Lenguaje C en cuanto a la generaci\'on de c\'odigo para ciclos constantes como el FOR. El ejemplo es muy simple pero sirve como muestra del uso de registros \'indice como contadores descendientes (al estilo de la instrucci\'on de decremento autom\'atico BCT de la IBM System/360).\\


%
% Ensayo de tabbing para la escritura de codigo en assembler.
%
\begin{verbatim}
*     EJEMPLO DE TRADUCCIÓN (MANUAL) DE UNA SENTENCIA COMPLEJA "FOR"                         
*           EN ASSEMBLER MIXAL PARA LA MÁQUINA ARTIFICIAL MIX                                  
*     ======================================================                         
*                           AUTOR: JOSE PORTILLO LUGO, 2012                                          
*                                                                                             
* MÁQUINA MIX    DIR  ASSEMBLER MIXAL                                                         
*--------------   ---- -------------------------------------------------------------------
                                               ORIG  000                                                    
+0000 00 00 00   0000 TASA         CON   0                                                       
                        0049                 ORIG  49                                                      
                        0050 STK           ORIG  *+1            Stack de trabajo                         
                        0052 RESUL        ORIG  *+2            Declaración de símbolos                  
                        0054 PORC         ORIG  *+2                                                     
                        0056 X              ORIG  *+2                                                     
                        0058 TEMP         ORIG  *+2                                                                   
                        0060 Z              ORIG  *+2                                                     
                        0062 Y              ORIG  *+2                                                     
                        0064 BUFFCRD    ORIG  *+2            Buffer de entrada/salida                
*                                                                                              
                                I              EQU   1              Se optimiza el uso de I y J,             
                                J              EQU   2              usando los registros rI1 y rI2             
                                CARDRD     EQU   16             Unidad Lectora - Tarjetas   
                                CARDWR    EQU   17             Unidad Perforadora - Tarjetas
*                                                                                             
                                               ORIG  100            Subrutina - cálculo                     
+0128 00 02 32   0100 FOREXPR    STJ   5F             Establece enlace de la Subrutina        
+0052 00 05 33   0101                 STZ   RESUL          resul=0                                 
+0001 00 02 49   0102                 ENT1  1              i=1                                     
+0008 00 02 50   0103                 ENT2  8              j=8                                     
+0002 00 02 55   0104                 ENTX  2                                                      
+0060 00 05 31   0105                 STX   X              x=2                                     
+0003 00 02 55   0106                 ENTX  3                                                      
+0066 00 05 31   0107                 STX   Y              y=3                                     
+0025 00 02 55   0108                 ENTX  25                                                     
+0064 00 05 31   0109                 STX   Z              z=2                                     
+0058 00 05 08   0110                 LDA   0,2            j                                       
+0060 00 05 03   0111                 MUL   X              x                                       
+0005 00 02 06   0112                 SLAX  5                                                      
+0054 00 05 24   0113                 STA   TEMP           j*x                                     
+0064 00 05 08   0114                 LDA   Z              z                                       
+0066 00 05 03   0115                 MUL   Y              y                                       
+0005 00 02 06   0116                 SLAX  5              z*y                                     
+0062 00 05 01   0117                 ADD   TEMP           j*x+z*y                                 
+0052 00 05 24   0118                 STA   RESUL                                                  
+0126 00 00 39   0119                 JMP   4F             Evalua condiciones                      
+0052 00 05 08   0120 3H             LDA   RESUL          Inicio del ciclo                        
+0000 00 05 03   0121                 MUL   TASA                                                   
+0005 00 02 06   0122                 SLAX  5                                                      
+0100 00 05 04   0123                 DIV   100            (resul*tasa)/100                        
+0054 00 05 24   0124                 STA   PORC                                                   
+0001 00 01 49   0125                 DEC1  1              i--                                     
+0128 00 07 39   0126 4H             J1Z   5F             Termina el ciclo                
+0120 00 00 39   0127                 JMP   3B             Continua el ciclo                       
+0001 00 00 39   0128 5H            JMP   *              Enlace de retorno - Subrutina           
*                                                                                              
                                              ORIG  500            Driver principal del programa           
+0001 00 02 32   0500 MAIN        STJ   END            Establece enlace - Sistema Operativo NIX
+0000 00 05 33   0501                STZ   TASA                                                   
+0054 00 05 33   0502                STZ   PORC                                                   
+0053 00 16 34   0503                JBUS  *(CARDRD)     Espera por Lectora - Tarjetas           
+0067 00 16 36   0504                IN    BUFFCRD(CARDRD) Lectura                               
+0067 00 02 55   0505                LDX   BUFFCRD                                                
+0000 00 05 15   0506                STX   TASA           Tasa para el cálculo                    
+0100 00 00 39   0507                JMP   FOREXPR        Invoca Subrutina                        
+0054 00 05 15   0508                LDX   PORC           RX = porc
+0067 00 05 31   0509                STX   BUFFCRD        Almacena en buffer salida               
+0510 00 17 34   0510                JBUS  *(CARDWR)     Espera por perforadora - Tarjetas       
+0067 00 17 37   0511                OUT   BUFFCRD(CARDWR) Perfora                               
+0000 00 02 05   0512                HLT                  Enlace de retorno - Sistema Operativo NIX
                                              END   MAIN                                                   
*                                                                                             
\end{verbatim}
\\
\page
* Fuente en lenguaje C++ simplificado:                                                        \\
{\obeylines \sfcode`;=3000
{\bf void main()}
\{ // Cuerpo principal del programa
\qquad {\bf int} ${\it tas}=0$, ${\it porc}=0$;\\

\qquad ${\it tas} = getchar()$;
\qquad forexpr({\it tas}, {\it &porc});
\qquad putchar({\it &porc});
\}

{\bf void forexpr}(int tasa, int &porcen)
\{ // Subrutina - cálculo
\qquad {\bf int} $i=1$, $j=8$, $resul=0$, $x=2$, $y=3$, $z=25$;\\

\qquad {\bf for}($resul=j*x+z*y&, $porcen=0$; $i \geq 1$; $porcen=(resul*tasa)/100$, i--);
\}
\par}
%
%----------------------------%
% Referencias bibliográficas %
%----------------------------%
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\begin{thebibliography}{7}
\bibitem{Knuth1} Knuth, Donald E. \textit{The Art of Computer Programming, Vol. 1 Fundamental Algorithms}, 1973.
\bibitem{Knuth2} Knuth, Donald E. \textit{3-TRAN Interpreter Compiler source listing}, 1964.
\bibitem{Knuth3} Knuth, Donald E., Sites R. L. \textit{MIX/360 Users Guide}, 1971.
\bibitem{Knuth4} Computer Museum. \textit{Oral History of Donald Knuth}, 2007.
\bibitem{Akers1} Akers, Max Neil. \textit{A Proposed Programming System for Knuth MIX Computer}, 1969.
\bibitem{Burr} Burroughs. \textit{Burroughs 205 Electronic Data Processing Systems Handbook}, 1957.
\end{thebibliography}