DEFINICIONES BÁSICAS PARA EL ESTUDIO DE LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA

La Ciencia del ingeniero debe ser práctica, pero no empírica. 

El empirismo termina en rutina, y la rutina en ceguera. 

El ingenio se cultiva también con la luz de la razón 

cuando la intuición no ilumina lo bastante, 

y la Matemática que necesita el técnico 

debe proporcionarle no sólo los conocimientos pragmáticos, 

los útiles de su trabajo, 

sino también el hábito de manejarlos con buen criterio.

Puig Adam, Pedro - Curso de Geometría Métrica,Vol. 1 Fundamentos - 1947

Unfortunately, mathematicians do not always adhere to their own canons of accuracy 

with respect to terminology.

Birkhoff and Beatley - Basic Geometry, Manual for teachers - 1943

Este Glosario intenta ser “auto-contenido”, tal y como es la  Geometría euclidiana misma: en el Espacio Euclidiano existe todo el Universo de objetos (Elementos Geométricos). Es un pequeño viaje desde las definiciones grandes hacia los elementos primitivos. Siempre pensé que el título matemático tiene como sinónimo el título analista. El oficio de analista es usar la facultad racional para desmontar/construir discursos, información en todas sus formas, infraestructuras lógicas deductivas con el objetivo de estudiarlas para conocer su Valor Veritativo.

La precisión y belleza de toda la infraestructura matemática proviene de su semi-rigidez. Los años de trabajo abstracto enseñan que el analista/matemático no debe adoptar una postura rígida (ortodoxa) frente a los problemas. Newman y Kasner, en su libro Matemáticas e imaginación, remarcaron –“a menudo el rigor matemático solo sirve para provocar otra clase de rigor…el rigor mortis de la creación matemática”. La herramienta fundamental del analista (precisamente para no ser un sujeto con pensamiento rígido) es la flexibilidad en su pensamiento: un ir y venir entre el universo de lo abstracto y la materialidad.

Se trata, este breve trabajo, de un homenaje a la lucha contra el olvido. Como parte de mi investigación, estuve escarbando la biblioteca nacional en Caracas, en busca de trabajos y traducciones de los Elementos de Euclides. Tuve la suerte de encontrar una obrita producida por la UNAM en 1944. En su preámbulo, el Prof. García Bacca hizo un análisis filosófico de la obra de Euclides. Inmediatamente me dí cuenta que estaba en presencia de un libro histórico. El libro lo encontré en condiciones deplorables: humedad y roturas llenaban sus tapas y hojas. Muchos textos parecidos se encuentran en condición similar en esa biblioteca (y en otras bibliotecas del país, incluida la librería del Palacio de las Academias en Caracas). Hago desde aquí un llamado a digitalizar muchos libros valiosos como estos para contrarrestar el olvido.

1.- La palabra Lógica proviene del vocablo griego logos que significa Discurso o Raciocinio. Es una rama de la filosofía que estudia el razonamiento.

2.- La Lógica Matemática es el estudio sistemático de los razonamientos correctos para diferenciarlos de los incorrectos.

3.- Discurso es la facultad racional con que se infieren unas cosas a partir de otras. Ejemplo: "c^2 = a^2 + b^2" es un Discurso racional.

4.- Oración Gramatical es la unidad del lenguaje que expresa un sentido completo.

5.- Una Proposición es una Oración Gramatical que es verdadera o es falsa pero no ambas cosas a la vez.

6.- Una Forma Proposicional es una Oración Gramatical que incluye Variables. Ejemplo: "x es un número primo". No es una Proposición, dado que no es posible determinar si es verdadera o falsa.

7.- Una Definición es un convenio sobre el significado de un Término en particular según el cual el Definiendum puede sustituir al Definiens. Consta de dos Expresiones llamadas Definiendum y Definiens.

8.- Conjunto es un término primitivo que no se define. Es sinónimo de Agregado o Colección de Objetos, y estos Objetos se llaman sus Elementos.

9.- Una Variable es un Símbolo que denota un Elemento cualquiera de un Conjunto no vacío. Este Conjunto se llama Rango o Universo del Discurso de la Variable, y sus Elementos se llaman Valores de la Variable.

10.- Una Constante es una Variable cuyo Rango tiene un solo Elemento.

11.- Una Circunferencia es el Lugar Geométrico de los Puntos que equidistan de un Punto dado, y puede trazarse con compas. También, una Circunferencia de centro un Punto O y de Radio un número K > 0 es el Conjunto de los Puntos que están a la distancia K de O.

También se llama Radio al Segmento que une el centro O con cualquier Punto P de la Circunferencia. Esta palabra Radio se usa en dos sentidos.

Cuando se diga "el Radio" significa: el número K > 0. Cuando se diga "un Radio" significará: un Segmento. Lo propio ocurre con el vocablo Diámetro.

Un Punto P dícese interior a O(k) si OP < K.

En este glosario se sigue la simbología del Prof. Darío Durán Cepeda [2]

12.- Un Ángulo es la unión de dos semirectas con un extremo común. A este extremo común se le denomina Vértice del Ángulo y las semirectas se les llama Lados del Ángulo. La notación comúnmente usada para expresar la medida de un Ángulo es m

13.- Un Ángulo dícese Agudo, Obtuso o Recto si su medida es menor, mayor o igual a 90°.

14.- Se llama Cuerda al Segmento que une dos Puntos de una Circunferencia.

15.- Un Diámetro es una Cuerda que pasa por el Centro de la Circunferencia. También, se llama Diámetro al número 2K.

16.- Dos Puntos se dicen Diametralmente Opuestos si son extremos de un Diámetro.

Teorema: Un Diámetro en una Circunferencia es la Cuerda de mayor longitud.

17.- Circulo es el Conjunto de los Puntos interiores a una Circunferencia.

18.- Un Lugar Geométrico es una Figura Geométrica cuyos Elementos Geométricos (Puntos, Rectas), y solamente ellos, gozan de una misma Propiedad, como la Circunferencia.

La Mediatriz de un Segmento es otro Lugar Geométrico, ya que sus Puntos, y nada más que ellos, distan individualmente lo mismo de los extremos del Segmento, por Rectas Oblicuas que se separan igualmente del Pie de la Recta Perpendicular, y cualquier Punto que no pertenezca a la Mediatriz no goza de esa Propiedad.

Análogamente, la Bisectriz de un Ángulo es el Lugar Geométrico de los Puntos, que individualmente distan lo mismo de los Lados del Ángulo, lo cual se ve por giro de la Figura o la mitad de ella, alrededor de la Bisectriz.

19.- Desigualdad triangular: un Lado de un Triángulo es menor que la suma de los otros dos Lados.

20.- Dados tres Puntos no-Colineales A, B, C, se llama Triángulo a la Figura obtenida por la unión de los tres Segmentos AB, AC y BC.

21.- Esta es una hermosa definición de Postulado escrita por el Dr. Juan David García Bacca en su introducción filosófica a los Elementos de Euclides:

"Y en nuestros días llamamos Postulados a todos los axiomas geométricos, es decir: cosas no evidente al entendimiento especulativo que tienen que ser construidas según normas para que el entendimiento las pueda intuir y luego formular como Proposiciones.

A la acción constructora le sigue la contemplación." [1]

22.- Si un Punto P está en el Plano de O(k), entonces los números OP y k satisfacen la "Ley de Tricotomía": "Se cumple una y solamente una de las siguientes posibilidades: OP < k, OP = k, OP > k".

Esto indica que O(k) divide al Plano en tres regiones excluyentes: el Círculo de centro O y Radio k, la Circunferencia de Centro O y Radio k y el exterior de la Circunferencia.

23.- Se dice que M es el Punto Medio del segmento AB si AM = MB y M está entre A y B. En este caso también se dice que A y B son Puntos Simétricos respecto de M o que A es el Simétrico de B respecto de M o que M Biseca al segmento AB.

24.- El Segmento que une un Vértice de un Triángulo y el Punto medio del Lado opuesto se llama Mediana de ese Lado. También se llamará Mediana a la Longitud de ese Segmento.

25.- El Segmento que une un Vértice de un Triángulo y su Proyección Ortogonal sobre la Recta que contiene al Lado opuesto se llama Altura de ese Lado.

También se llama Altura a la Longitud de ese Segmento.

26.- El Punto de corte de las Medianas de un Triángulo se llama Baricentro del Triángulo. También se llama Centroide o Centro de Gravedad del Triángulo.

27.- La intersección de las alturas de un Triángulo se llama el Ortocentro del Triángulo. El Triángulo cuyos vértices son los pies de las alturas de otro Triángulo se llama Triángulo Órtico de éste.

28.- Un Punto de Menelao (Menelaus según [6]) de un Lado de un Triángulo es un Punto que no es Vértice del Triángulo y está en la Recta que contiene a ese Lado del Triángulo.

29.- Se llama Ceviana de un Vértice de un Triángulo al segmento determinado por el Vértice y un Punto de Menelao del Lado opuesto. Este último Punto se llama Pie de la Ceviana. La Ceviana es interior o exterior según que su Pie sea un Punto interior o exterior del Lado.

Menelaus de Alejandría fue un astrónomo griego que vivió en el primer siglo de nuestra era. Escribió la obra llamada Esférica donde estudió los triángulos esféricos y los puntos colineales. El matemático Giovanni Ceva (ca. 1647 – 1736) publicó un trabajo sobre las rectas concurrentes.

30.- Una Función de un Conjunto no vacío X en un Conjunto no vacío Y es una regla que asigna a cada Elemento de X un único Elemento de Y. Este único Elemento se llama su Imagen. El conjunto X se llama el Dominio de la función, y el Conjunto Y se llama su Codominio. Una Función de X en Y se dice Biyectiva si elementos distintos de X tienen imágenes distintas, y cada Elemento de Y es imagen de algún Elemento de X.

31.- Se llama Correspondencia Biunívoca entre dos triángulos a una Función Biyectiva entre sus vértices. Escribiremos ABC ↔ DEF para denotar la correspondencia biunívoca entre los triángulos ABC y DEF siempre y cuando los vértices D, E y F sean las respectivas imágenes de los vértices A, B y C. Toda correspondencia biunívoca induce una correspondencia biunívoca entre sus ángulos y sus lados.

32.- Una Semejanza entre dos triángulos es una correspondencia biunívoca entre sus vértices tal que los ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.

33.- Dos triángulos ABC y DEF son semejantes o el triángulo ABC es semejante al triángulo DEF, y se escribe ABC ∼ DEF, si la Correspondencia Biunívoca ABC ↔ DEF es una Semejanza. El Factor de Proporcionalidad entre los lados correspondientes se llama Razón de Semejanza.

34.- Una Congruencia entre dos triángulos es una Correspondencia Biunívoca entre sus vértices de modo que sus ángulos correspondientes y sus lados correspondientes sean iguales. Diremos que dos triángulos ABC y DEF son congruentes o que el triángulo ABC es congruente con el triángulo DEF, y se escribe ABC ≅ DEF, si existe una Correspondencia ABC ↔DEF entre los vértices.

35.- Una Congruencia entre dos Figuras es una Correspondencia Biunívoca que preserva distancias. Por esta razón las congruencias se llaman en ocasiones Isometrías (isos = igual; metrón = medida). Esta definición es una generalización de la definición de Congruencia de triángulos.

36.- Una Proporción es la igualdad de dos razones, y es verdadera sii el producto de los extremos es igual al producto de los medios, es decir, x/a= b/y si y sólo si a.y = b.x.

En el Libro V de los Elementos de Euclides se pueden leer las siguientes dos definiciones:

a) Una Razón es determinada relación con respecto a su tamaño entre dos magnitudes homogéneas.

b) Llámense proporcionales las magnitudes que guardan la misma razón.

Se puede intuir de allí que la Razón de dos cantidades es el cociente entre ellas y que una Proporción es la igualdad de dos razones

37.- Se dice que los segmentos a, b, c, d forman una Proporción si a/b = c/d. Los segmentos a y d se llaman los Extremos de la Proporción, y los segmentos b y c se llaman sus Medios. Cada uno de esos segmentos se llama la Cuarta Proporcional de los segmentos restantes.

Se dice que el segmento b es Media Geométrica o Media Proporcional de los segmentos a y c si b^2 = a.c. En este caso cualquiera de los dos factores del segundo miembro se llama una Tercera Proporcional.

38.- Un Punto es el Límite mínimo de la Extensión, que se considera sin Dimensión alguna. Evidentemente, para hacerlo parte de toda la estructura, se tendrán que analizar las palabras Límite, Extensión y Dimensión y eso nos llevaría lejos de la Geometría. Por estas razones la Geometría acepta el Punto como Término Primitivo. Lo propio ocurre con las palabras Recta y Plano. 

El enfoque sistémico (modularización y orientación a objeto), reciente dentro del conocimiento humano, puede ayudarnos a entender. Es una acción de observar en perspectiva. De lejos solo existe el Punto. Luego al aproximarnos más al objeto pudieran aparecer detalles: en este instante deja de ser un Punto y sus partes, ahora visibles, aparecen como Puntos en nuestro espacio. La experiencia sigue a medida que avanzamos. Por eso se trata de un "límite de la extensión".

39.- Los Términos Primitivos de la Geometría son [2]:

(a) Los Puntos

(b) Ciertos Conjuntos de Puntos que llamamos Rectas

(c) La Distancia entre dos Puntos

(d) La Medida de un Ángulo

(e) El Área de ciertos Conjuntos de Puntos

40.- El Espacio es el Conjunto de todos los Puntos.

El Espacio Abstracto de la Geometría Euclidiana goza de las siguientes Propiedades:

- Continuo (sin interrupciones)

- Homogéneo (sin diferencias en sus partes)

- Isótropo (sin deformaciones: todas las Rectas son iguales)

- Divisible indefinidamente (sin átomos de extensión) à contrastar con def. de Punto

- Accesible en todos los Puntos

- Compenetrable (dos figuras pueden ocupar el mismo lugar)

- Tridimensional (definen una posición tres “direcciones” perpendiculares)

- Independiente del tiempo (existe sin que el tiempo influya en su modo de ser)

Vemos como el Espacio, al igual que cualquier otro objeto matemático, posee propiedades notables intrínsecas. En otras palabras:

¡la inmensidad del Espacio como objeto de estudio en sí mismo! 

41.- La Geometría es la parte de la Matemática que estudia las Propiedades Notables intrínsecas de las Figuras Geométricas. Estas Propiedades de las Figuras admiten un doble orden de clasificación: Propiedades Métricas, Proyectivas, Topológicas y el de las llamadas Propiedades de Posición, Extensión y Forma.

Las Propiedades de las Figuras Geométricas resultan de las Propiedades del Espacio.

42.- Propiedad es el Atributo o Cualidad esencial de alguien o algo.

43.- Cualidad es cada uno de los Caracteres, naturales o adquiridos, que distinguen a las personas, a los seres vivos en general o a las cosas.

44.- Un Sistema Axiomático es la plataforma que sostiene a toda infraestructura lógica deductiva y consiste en lo siguiente:

(a) Un Conjunto de Términos Primitivos que constituyen la base del Vocabulario necesario

(b) Un Conjunto de Proposiciones iniciales no demostradas

(c) Leyes de la Lógica

(d) Un Conjunto de Teoremas que enuncian las Propiedades de los Términos Primitivos

Un Sistema Axiomático, como todo objeto matemático, posee propiedades notables intrínsecas. Se trata de las propiedades de un axioma y del conjunto de axiomas: (d.1) cada axioma debe ser compatible; (d.2) el conjunto de axiomas debe ser completo; (d.3) el conjunto de axiomas debe ser coherente.

Puede darse la situación que un conjunto de axiomas, por sí solo, no es suficiente para sostener un a determinada infraestructura lógica deductiva. En caso tal, el analista/matemático debe buscar (o inventar) otros axiomas y añadirlos a su sistema axiomático.

Es bueno tener siempre en cuenta que existen muchos objetos matemáticos, algunos son simples mientras que otros (construidos en base a los objetos simples) son compuestos. Entre los objetos matemáticos que han sido más elaborados tenemos los vectores, las matrices, algunos objetos físico-matemáticos como los tensores y los espacio vectoriales.

45.- Una Figura Geométrica es un Conjunto de puntos.

46.- Un Argumento Lógico es un Conjunto finito de Proposiciones donde la última de ellas se llama Conclusión, y las restantes se llaman Premisas.

Si p1, p2, …pn son Premisas de un Argumento y q es la Conclusión, entonces escribiremos [p1, p2, …, pn] lŀ q

Definición (del punto 46).

Diremos que el argumento [p1, p2, …, pn] lŀ q es Válido si la Condicional (p1 ^ p2 ^ …^ pn) => q

Es una Tautología. Se dice que el Argumento es una Falacia si no es Válido.

Resumiendo algunas notaciones empleadas en la Geometría Euclidiana:

A, B, C, ... son los vértices o ángulos correspondientes de un Polígono. a, b, c, ... son los lados del polígono. Si ABC es un triángulo a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C. s es el Semiperímetro del triángulo ABC y p = 2s es el Perímetro. La recta AB es la recta que pasa por los puntos A y B. La circunferencia ABC es la circunferencia que pasa por los puntos A, B, C. O(A) es la circunferencia de centro O que pasa por A. O(k) u O(AB) es la circunferencia de centro O y de radio k o AB. ha, hb, hc son las alturas y ma, mb, mc son las medianas de los lados a, b, c del triángulo ABC. Las alturas de un triángulo se cortan en su Ortocentro H. Las medianas de un triángulo se cortan en su Baricentro G que triseca a cada mediana. wa, wb, wc son las bisectrices interiores y wa`, wb`, wc` son las bisectrices exteriores de los ángulos A, B, C de un triángulo ABC. Las bisectrices de los ángulos de un triángulo se cortan en su Incentro I, que es el centro del Incírculo, es decir, de la circunferencia tangente a sus lados. Su radio r se llama el inradio y 2r se llama el Indiámetro. Las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en su Circuncentro O, que es el centro del Circuncírculo, i.e., la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo. Su radio r se llama el Circunradio y 2R se llama el Circundiámetro. Un Excírculo de un lado de un triángulo es la circunferencia que es tangente a ese lado y a las prolongaciones de los otros dos lados. Sus centros se llaman excentros y se denotan por Ia, Ib, Ic. Sus radios se llaman exradios y se denotan mediante ra, rb, rc. ∠AOB es el ángulo de vértice O y de lados las semirrectas OA y OB.

Referencias:

[1] Euclides, Hilbert, David, García Bacca, Juan David - Elementos de Geometría - UNAM, 1944

[2] Duran Cepeda, Darío - Geometría Euclidiana - 2005

[3] Jiménez, Douglas - Geometría: El encanto de la forma - 2005

[4] Biosca, Francisco M. - Geometría - Enciclopedia LABOR, 1962

[5] Postigo, Luis - Matemática

[6] Cajori, Florian – A History of Mathematics
[7] López, Nayit E. - Fundamentos de Geometría Métrica Plana
[8] Diccionario de la Real Academia de la Lengua Española